统考版2021高考数学二轮复习专题限时集训14导数文含解析
- 书山有路
-
0 次阅读
-
0 次下载
-
2020-12-19 17:31:25
文档简介:
专题限时集训专题限时集训(十四十四)导数导数1.(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.[解](1)证明:设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx+xsinx-1,g′(x)=xcosx.当x∈0,π2时,g′(x)>0;当x∈π2,π时,g′(x)<0,所以g(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减.又g(0)=0,gπ2>0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.(2)由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.又f(0)=0,f(π)=0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].2.(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.[解](1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f′(x)=0,得x=0或x=a3.若a>0,则当x∈(-∞,0)∪a3,+∞时,f′(x)>0,当x∈0,a3时,f′(x)<0,故f(x)在(-∞,0),a3,+∞单调递增,在0,a3单调递减;
评论
发表评论