2020_2021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲绝对值不等式理

1绝对值不等式绝对值不等式1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．2.两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．4.含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．5.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－a)∪(－∞，0)∪R