2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系学案含解析新人教A版选修2-1

-1-3.2.13.2.1空间向量与平行关系空间向量与平行关系[目标]1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．[重点]利用向量的方法解决线线、线面、面面的平行关系．[难点]利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面平行．知识点一平面的法向量[填一填]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．[答一答]1．如何确定直线的方向向量？提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量．一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值．2．如何求平面的法向量？平面的法向量唯一吗？提示：在平面内找两个不共线向量a，b，设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，列方程组a·n＝0b·n＝0，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值，即可求出平面的一个法向量．由于赋值法不唯一，所以求出的法向量也不唯一，但所有的法向量均平行．知识点二空间平行关系的向量表示[填一填]1．线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．2．线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.3．面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．[答一答]3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l⊂α.